Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，（x＞0）}\end{array}\right.$，則關(guān)于函數(shù)F（x）=f（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確的結(jié)論是②④．（寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）
①k=0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)．②k＜0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)．
③k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)．④k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 逐項(xiàng)判斷即可．

解答 解：
①當(dāng)k=0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1}&{x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}&{x＞0}\end{array}\right.$，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=1，則f（f（x））=f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}1$=0，
此時(shí)有無窮多個(gè)零點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)k＜0時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=kx+1≥1，
此時(shí)f（f（x））=f（kx+1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（kx+1）$，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥0$，此時(shí)
f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）$，令f（f（x））=0，可得：x=$\frac{1}{2}$，滿足；
（Ⅲ）當(dāng)x＞1時(shí)，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜0$，此時(shí)f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=k$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+1＞0，此時(shí)無零點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)有兩零點(diǎn)，故②正確；
③當(dāng)k＞0時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)x≤$-\frac{1}{k}$時(shí)，kx+1≤0，此時(shí)f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：$x=-\frac{k+1}{{k}^{2}}＜-\frac{1}{k}$，滿足；
（Ⅱ）當(dāng)$-\frac{1}{k}＜x≤0$時(shí)，kx+1＞0，此時(shí)f（f（x））=f（kx+1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（kx+1）$，令f（f（x））=0，可得：x=0，滿足；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥0$，此時(shí)f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）$，令f（f（x））=0，可得：x=$\frac{1}{2}$，滿足；
（Ⅳ）當(dāng)x＞1時(shí)，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜0$，此時(shí)f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=k$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+1，令f（f（x））=0得：x=${2}^{\frac{1}{k}}$＞1，滿足；
綜上可得：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．故③錯(cuò)誤，④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題．考查了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，要求比較高，屬于難題．