Question

某學(xué)校為了選拔學(xué)生參加“XX市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽”，先在本校進(jìn)行選拔測(cè)試（滿分150分），若該校有100名學(xué)生參加選拔測(cè)試，并根據(jù)選拔測(cè)試成績(jī)作出如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估算這100名學(xué)生參加選拔測(cè)試的平均成績(jī)；
（Ⅱ）若通過(guò)學(xué)校選拔測(cè)試的學(xué)生將代表學(xué)校參加市知識(shí)競(jìng)賽，知識(shí)競(jìng)賽分為初賽和復(fù)賽，初賽中每人最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽．假設(shè)參賽者甲答對(duì)每一個(gè)題的概率都是

2

3

，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)平均成績(jī)的估計(jì)值為

.

x

，則：

.

X

=(20×0.001+40×0.004+60×0.009+80×0.020+100×0.012+120×0.003+140×0.001)×20=80.4．
（Ⅱ）記甲在初賽中的答題個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，這ξ的可能值為3，4，5，
P(ξ=3)=(

2

3

)3+(1-

2

3

)3=

1

3

，
P(ξ=4)=

C

23

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)×

2

3

+

C

13

×

2

3

×(1-

2

3

)2×(1-

2

3

)=

10

27

，
P(ξ=5)=1-

1

3

-

10

27

=

8

27

．
則ξ的分布列為

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

所以ξ數(shù)學(xué)期望Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．