Question

13．有7名游客，其中4名外國游客，3名中國游客組團到薊縣盤山游玩，上山纜車每輛最多乘4人．
（I）7人計劃分乘A、B兩輛纜車先后上山，為了交流方便每輛纜車中各有兩名外國游客，則有多少種分配方案；
（II）由于游客較多只有-輛空閑纜車，7人中隨機選取4人乘車，其余3人爬山，求出乘纜車的4人中中國游客人數ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用乘法計數原理能求出不同的分配方案有多少種．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵有7名游客，其中4名外國游客，3名中國游客組團到薊縣盤山游玩，上山纜車每輛最多乘4人．
7人計劃分乘A、B兩輛纜車先后上山，為了交流方便每輛纜車中各有兩名外國游客，
∴分配方案有${C}_{4}^{2}{•{A}_{2}^{2}•C}_{3}^{2}•{A}_{2}^{2}$=72種．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{{C}_{7}^{4}}_{\;}}$=$\frac{18}{35}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

Eξ=$0×\frac{1}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{4}{35}$=$\frac{12}{7}$．

點評 本題考查不同的分配方法的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．