Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，0＜B＜$\frac{π}{2}$，若|$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$|=3，則$\frac{16b}{ac}$的最小值為$\frac{32-16\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 使用二倍角公式化簡(jiǎn)解出B，使用余弦定理得出ac的最大值，代入計(jì)算即可．

解答 解：∵cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，∴$\frac{1}{2}$（1+cos2B）+$\frac{1}{2}$sin2B=1，即sin2B+cos2B=1．
兩邊平方得2sin2Bcos2B=0，即sin4B=0，
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴0＜4B＜2π．
∴4B=π，即B=$\frac{π}{4}$．
∵|$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=b=3，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-9}{2ac}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²+c²=9+$\sqrt{2}ac$≥2ac，
∴ac≤$\frac{9（2+\sqrt{2}）}{2}$．
∴當(dāng)ac=$\frac{9（2+\sqrt{2}）}{2}$時(shí)，$\frac{16b}{ac}$=$\frac{48}{ac}$取得最小值$\frac{32-16\sqrt{2}}{3}$．
故答案為$\frac{32-16\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．