Question

已知離心率為的橢圓C₁：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，圓C₂：x²+y²=b²與直線(xiàn)l：相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果直線(xiàn)l繞著它與x軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且與橢圓相交于P₁、P₂兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)P₁F₁與P₂F₁的斜率分別為k₁和k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

解：（1）∵圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，
∴．
∵，
∴，a²=2b²=8，
所以橢圓方程為 ．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l繞著它與x軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可設(shè)直線(xiàn)為y=k（x+4），
它與橢圓相交于P₁、P₂兩點(diǎn)，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-2，0），
，
，
k₁+k₂=+
=
=…（1）
聯(lián)立與y=k（x+4）得
（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，
，
代入（1）式則有
k₁+k₂=．
分析：（1）由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，知．由 ，知a²=2b²=8，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線(xiàn)為y=k（x+4），它與橢圓相交于P₁、P₂兩點(diǎn)，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-2，0），，，k₁+k₂=．聯(lián)立與y=k（x+4）得（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，由韋達(dá)定理能夠證明k₁+k₂=0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．