Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若AB=AC，BC=AA₁=2，求點(diǎn)A₁到平面ADC₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，連接DE，則DE∥A₁B．由此能證明A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A₁B∥平面ADC₁，則點(diǎn)A₁與B到與平面ADC₁的距離相等，從則C到與平面ADC₁的距離即為所求．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是A₁C及AC₁的中點(diǎn)．
連接DE，則DE∥A₁B．
因?yàn)镈E?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A₁B∥平面ADC₁，
則點(diǎn)A₁與B到與平面ADC₁的距離相等，
又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)C與B到與平面ADC₁的距離相等，
則C到與平面ADC₁的距離即為所求．…（6分）
因?yàn)锳B=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，又AD⊥A₁A，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
作于CF⊥DC₁于F，則CF⊥平面ADC₁，CF即為所求距離．…（10分）
在Rt△DCC₁中，CF=

DC×CC1

DC1

=

2 5

5

．
所以A₁到與平面ADC₁的距離為

2 5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．