Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b（a，b∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)為x=1
（1）求a的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程x²-bx-ab=0的兩個(gè)實(shí)根為α，β（α＜β），函數(shù)f（x）在區(qū)間[α，β]上單調(diào)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3x²-2x+a，由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，要得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[α，β]上是單調(diào)的，區(qū)間[α，β]只能是區(qū)間（-∞，-

1

3

]，[-

1

3

，1]，[1，+∞）之一的子區(qū)間．分類(lèi)討論滿(mǎn)足條件的b值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-x²+ax+b
∴f′（x）=3x²-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．--------（3分）
∴f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
當(dāng)x≤-

1

3

時(shí)，f′（x）≥0；當(dāng)-

1

3

≤x≤1時(shí)，f′（x）≤0，當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≥0，；
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-

1

3

]上單調(diào)遞增，在[-

1

3

，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．（6分）
（2）∵方程x²-bx+b=0的兩個(gè)不等實(shí)根為α，β，
∴△=b²-4b＞0，b＜0或b＞4  （*）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[α，β]上是單調(diào)的，
∴區(qū)間[α，β]只能是區(qū)間（-∞，-

1

3

]，[-

1

3

，1]，[1，+∞）之一的子區(qū)間．
記g（x）=x²-bx+b，g（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

b

2

，
①若[α，β]⊆（-∞，-

1

3

]，則

b 2 ≤- 1 3                 g(- 1 3 )= 1 9 + 4 3 b≥0

，解得無(wú)解；--------（9分）
②若[α，β]⊆[-

1

3

，1]，則

- 1 3 ≤ b 2 ≤1 △=b2-4b＞0 g(1)≥0 g(- 1 3 )= 1 9 + 4 3 b≥0

，
解得：b∈[-

1

12

，0)

③[α，β]⊆[1，+∞），則

b 2 ≥1         g(1)=1≥0 △＞0

，
解得b＞4
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為[-

1

12

，0)∪(4，+∞)．------------------------------------------------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用，難度中檔．