Question

1．如圖，已知菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，∠EBA=90°，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，P為DF的中點(diǎn)．
（1）求證：PE∥平面ABCD
（2）設(shè)G為線段AD上一點(diǎn)，$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AD}$，若直線FG與平面ABEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{39}}{26}$，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）取AD 的中點(diǎn)M，連接PM，BM，通過證明四邊形BMPE是平行四邊形得出PE∥BM，故而PE∥平面ABCD；
（2）作出線面角，用λ表示出所作直角三角形的邊長，列方程解出λ．

解答 解：（1）取AD 的中點(diǎn)M，連接PM，BM，
∵P是DF的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，
∴PM∥AF，PM=$\frac{1}{2}$AF，
又BE∥AF，BE=$\frac{1}{2}$AF，
BE∥PM，BE=PM，
∴四邊形BEPM是平行四邊形，
∴PE∥BM，又PE?平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PE∥平面ABCD．
（2）過G作GH⊥BA，交BA延長線于H，連接FH，F(xiàn)G，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，GH⊥AB，GH?平面ABCD，
∴GH⊥平面ABCD，
∴∠GFH為直線FG與平面ABEF所成角．
∵$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AD}$，∴AG=2λ，∵∠CBA=∠DAH=$\frac{π}{3}$，
∴GH=AG$•sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}λ$，AH=AG•cos$\frac{π}{3}$=λ，
∴HF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{16+{λ}^{2}}$，F(xiàn)G=$\sqrt{G{H}^{2}+F{H}^{2}}$=2$\sqrt{4+{λ}^{2}}$，
∴sin∠GFH=$\frac{GH}{FG}$=$\frac{\sqrt{3}λ}{2\sqrt{4+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面角的計(jì)算，尋找平行關(guān)系，作出線面角的平面角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．