Question

17．已知F₁和F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在該橢圓上，且PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)A（2，0）作直線l交橢圓于不同的兩點(diǎn)B，C，證明：不存在直線l，使得|BF₂|=|CF₂|．

Answer 1

分析 （1）通過點(diǎn)P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在該橢圓上且PF₁⊥x軸可知焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓定義可知a=$\sqrt{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）利用反證法證明，假設(shè)滿足題意的直線l方程為x=my+2，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)可知當(dāng)|BF₂|=|CF₂|時(shí)有m（4+3m²）=0，從而得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵點(diǎn)P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在該橢圓上，且PF₁⊥x軸，
∴橢圓方程焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），
2a=|PF₁|+|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
又∵b²=a²-c²=2-1=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）證明：假設(shè)過點(diǎn)A（2，0）與橢圓相交的直線l的方程為：x=my+2，
并與橢圓方程聯(lián)立，消去x整理得：（2+m²）y²+4my+2=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∵|BF₂|=|CF₂|，F(xiàn)₂（1，0），
∴$（{x}_{1}-1）^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=$（{x}_{2}-1）^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$，
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）=（y₂-y₁）（y₂+y₁），
化簡(jiǎn)得：（1+m²）（y₁+y₂）+2m=0，
∴（1+m²）•$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$+2m=0，
∴m（4+3m²）=0，
解得：m=0，而此時(shí)顯然|BF₂|≠|(zhì)CF₂|，矛盾，
故不存在直線l，使得|BF₂|=|CF₂|．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，利用反證法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．