Question

已知圓M的方程為（x+1）²+y²=（2a）²（a為正常數(shù)，且a≠1）及定點(diǎn)N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線Ω．
（1）討論曲線Ω的曲線類(lèi)型，并寫(xiě)出曲線Ω的方程；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，過(guò)曲線Ω內(nèi)任意一點(diǎn)T作兩條直線分別交曲線Ω于A、C和B、D，設(shè)直線AC與BD的斜率分別為k₁、k₂，若|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）分a＞1和a＜1兩種情況求曲線Ω的方程；
（2）求出當(dāng)a=2時(shí)的曲線Ω的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，設(shè)T（t，s），則直線AC的方程為y=k₁（x-t）+s，聯(lián)立直線和曲線方程，得到關(guān)于x的一元二次方程．由根與系數(shù)關(guān)系求得|AT|•|TC|，同理求得|BT|•|TD|，由兩式相等得到答案．

解答： （1）解：連結(jié)QN，則|QN|=|PQ|．
當(dāng)a＞1時(shí)，則點(diǎn)N在圓內(nèi)
此時(shí)|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a，且2a＞|MN|，
故Q的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，此時(shí)曲線Ω的方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1；
當(dāng)a＜1時(shí)，則點(diǎn)N在圓外，此時(shí)|QN|-|QM|=|PQ|-|QM|=|PM|=2a，且2a＜|MN|，
故Q的軌跡為以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線，此時(shí)曲線Ω的方程為

x2

a2

-

y2

1-a2

=1；
（2）證明：當(dāng)a=2時(shí)，曲線Ω的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
設(shè)T（t，s），則直線AC的方程為y=k₁（x-t）+s，
聯(lián)立方程

y=k1(x-t)+s x2 4 + y2 3 =1

，得(4k12+3)x2+8k1(s-k1t)x+4[(s-k1t)2-3]=0．
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k1(s-k1t)

4k12+3

，x1x2=

4[(s-k1t)2-3]

4k12+3

．
∴|AT|•|TC|=(1+k12)|(x1-t)(x2-t)|=(1+k12)|x1x2-t(x1+x2)+t2|
=(1+k12)|

4[(s-k1t)2-3]

4k12+3

+

8k1t(s-k1t)

4k12+3

+t2|                                    
=(1+k12)|

4s2+3t2-12

4k12+3

|．
同理，直線BD的方程為y=k₂（x-t）+s，
則|BT|•|TD|=(1+k22)|

4s2+3t2-12

4k22+3

|．
∵|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，
∴(1+k12)|

4s2+3t2-12

4k12+3

|=(1+k22)|

4s2+3t2-12

4k22+3

|．
又T為曲線Ω內(nèi)任意一點(diǎn)，
∴

t2

4

+

s2

3

＜1，即4s²+3t²-12＜0，

1+k12

4k12+3

=

1+k22

4k22+3

，
∴k12=k22．
又直線AC與BD不重合，
∴k₁+k₂=0為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類(lèi)問(wèn)題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．