Question

2．已知關于x的二次函數f（x）=ax²-2bx+1，設點（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$內的隨機點，則函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{7}{16}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 首先畫出可行域，求出面積，計算滿足函數f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上的增函數的a，b滿足區(qū)域的面積，利用幾何概型公式得到所求．

解答 解：點（a，b）對應的平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$，
表示一個直角三角形ACF，面積為$\frac{1}{2}$×4×4=8，
f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數，且a＞0，則對稱軸$\frac{a}$≤1，
此時滿足條件的點在如圖所示的陰影部分：

陰影部分的面積為四邊形BCEG的面積是$\frac{7}{2}$，
故滿足條件的概率p=$\frac{\frac{7}{2}}{8}$=$\frac{7}{16}$，
故選：C．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與幾何概型的綜合考查；正確畫出區(qū)域，利用面積比求概率是關鍵．