Question

2．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-2bx+1，設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{7}{16}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 首先畫(huà)出可行域，求出面積，計(jì)算滿(mǎn)足函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上的增函數(shù)的a，b滿(mǎn)足區(qū)域的面積，利用幾何概型公式得到所求．

解答 解：點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$，
表示一個(gè)直角三角形ACF，面積為$\frac{1}{2}$×4×4=8，
f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，且a＞0，則對(duì)稱(chēng)軸$\frac{a}$≤1，
此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)在如圖所示的陰影部分：

陰影部分的面積為四邊形BCEG的面積是$\frac{7}{2}$，
故滿(mǎn)足條件的概率p=$\frac{\frac{7}{2}}{8}$=$\frac{7}{16}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題與幾何概型的綜合考查；正確畫(huà)出區(qū)域，利用面積比求概率是關(guān)鍵．