Question

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)．直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù)．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？最大面積等于多少？

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：1.由于題目較長(zhǎng)，一些考生不能識(shí)別有效信息，未能救出橢圓的方程求.2. 第（Ⅰ）問，求的取值范圍.其主要步驟與方法為：由，得關(guān)于、的不等式…… ①.由根與系數(shù)的關(guān)系、，在橢圓上，可以得到關(guān)于、、的等式……    ②．把等式②代入①，可以達(dá)到消元的目的，但問題是這里一共有三個(gè)變量，就是消了，那還有關(guān)于和的不等式，如何求出的取值范圍呢？這將會(huì)成為難點(diǎn).事實(shí)上，在把等式②代入①的過程中，和一起被消掉，得到了關(guān)于的不等式.解之即可.

3.第（Ⅱ）問要把的面積函數(shù)先求出來.用弦長(zhǎng)公式求底，用點(diǎn)到直線的距離公式求高，得到的面積，函數(shù)中有兩個(gè)自變量和，如何求函數(shù)的最大值呢？這又成為難點(diǎn).這里很難想到把②代入面積函數(shù)中，因?yàn)棰谥泻�有三個(gè)變量，即使代入消掉一個(gè)后，面積函數(shù)依然有兩個(gè)自變量.但這里很巧合的是：代入消掉后，事實(shí)上，也自動(dòng)地消除了，于是得到了面積和自變量的函數(shù)關(guān)系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范圍，利用均值不等式，即可求出面積的最大值了.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得

 解方程組得

∴橢圓的方程為．

由，得．

根據(jù)已知得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

∴，

化簡(jiǎn)得：．

設(shè)、，則

．

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，滿足題意；

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，.

由，得 即 

∵在橢圓上，∴，

化簡(jiǎn)得：．

∵，∴．

∵，

∴，即且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，、、三點(diǎn)在一條直線上，不構(gòu)成.

∴為使的面積最大，.

 ∵

∴.

∵原點(diǎn)到直線的距離，

∴的面積．

∵，，

∴.

∴．

∵，

∴．

“” 成立，即．

∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為

考點(diǎn)：直線和橢圓的相關(guān)問題，綜合考查考生的運(yùn)算求解能力.