Question

9．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，給出下列結論：
（1）AC⊥BE；
（2）EF∥平面ABCD；
（3）三棱錐A-BEF的體積為定值；
（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．
其中錯誤的結論有（　�。�

• A． 0個
• B． 1 個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 連結BD，則AC⊥平面BB₁D₁D，BD∥B₁D₁，由此能求出結果．找出兩個特殊位置，即可判斷（4）是不正確的；綜合可得答案．

解答 解：連結BD，則AC⊥平面BB₁D₁D，BD∥B₁D₁，
∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱錐A-BEF的體積為定值，
從而（1）（2）（3）正確．
當點E在D₁處，F為D₁B₁的中點時，異面直線AE，BF所成的角是∠FBC₁，
當E在上底面的中心時，F在C₁的位置，
異面直線AE，BF所成的角是∠EAA₁
顯然兩個角不相等，（4）不正確．
故選：B．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．