Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e為偶函數(shù)，它的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，-1），且在x=1處切線斜率為-2，x=

3

2

是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≤m（x²+1）都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，求出b和d的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）求出e，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立一等量關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上建立一等式關(guān)系，解方程組即可求得結(jié)果；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）根據(jù)對(duì)任意x∈R，不等式f（x）≤m（x²+1）總成立，分離參數(shù)可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤m恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=

-2x4+3x2-1

x2+1

的最大值即可，利用換元法和基本不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，∴由f（-x）=f（x）恒成立得b=0，d=0
∴f（x）=ax⁴+cx²+e，又過(guò)A（0，-1），∴e=-1，又f′（x）=4ax³+2cx
依題知

4a+2c=-2 4a× 3 4 × 3 2 + 3 2 ×2c=0

，

a=-2 c=3

，
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1
（2）f′(x)=-8x3+6x=-2x(2x+

3

)(2x-

3

)      
令f′（x）＞0，則x＜-

3

2

或0＜x＜

3

2

，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

3

2

），（0，

3

2

），
（3）由f（x）≤m（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0
∴

-2x4+3x2-1

x2+1

≤m恒成立，
令g（x）=

-2x4+3x2-1

x2+1

，t=x²+1≥1，
∴g(x)=

-2t2+7t-6

t

=7-2(t+

3

t

)≤7-4

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

時(shí)，g(x)=7-4

3

，
∴g(x)max=7-4

3

，
故m的取值范圍為[7-4

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題注意考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及分離參數(shù)的方法解決函數(shù)恒成立的問(wèn)題，在解題時(shí)注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用和基本不等式求最值應(yīng)注意的問(wèn)題，考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．