Question

已知關于x的不等式（log₂x）²-2log₂x-3）≤0的解集為M．
（1）求集合M；
（2）若x∈M，求函數f（x）=[log₂（2x）]•（log₂

x

32

）的最值．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）直接求解關于log₂x的一元二次不等式得log₂x的范圍，進一步求解對數不等式得答案；
（2）把已知的函數展開，換元后利用配方法求最值．

解答： 解：（1）由（log₂x）²-2log₂x-3≤0，得
-1≤log₂x≤3，即

1

2

≤x≤8．
∴M=[

1

2

，8]；
（2）f（x）=[log₂（2x）]•（log₂

x

32

）
=(1+log2x)(log2x-5)=(l0g2x)2-4log2x-5．
設t=log₂x，t∈[-1，3]，f（t）=t²-4t-5．
當t=2時，即x=4時，f（x）_min=-9；
當t=-1時，即x=

1

2

時，f（x）_max=0．

點評：本題考查了復合函數的單調性，考查了復合函數值域的求法，訓練了配方法，是中檔題．