Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝

(1) 判別函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的判斷正確；

(3) 求關(guān)于x的不等式f(1－x2)＋f(2x＋2)＜0的解集．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)．（2）減函數(shù)．（3）－1＜x＜ .

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)定義域：－3＜x＜3，再根據(jù)f(－x)與－f(x)相反關(guān)系，確定函數(shù)奇偶性（2）將分離得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明：先設(shè)，再作差變形，最后判斷符號(hào)（3）利用函數(shù)奇偶性得f(2x＋2)＜f(x2－1)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域得－3＜x2－1＜2x＋2＜3，解得不等式解集

試題解析：解：(1) ∵ f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，∴ f(x)是奇函數(shù)．

(2) 由＞0，得－3＜x＜3，∴ f(x)的定義域是(－3，3)，f(x)＝ln 是減函數(shù)．

證明如下：

設(shè)－3＜x1＜x2＜3，則,， 即f(x1)＞f(x2)，∴ f(x)是減函數(shù)．

(3) 由(1)(2)知f(x)在定義域(－3，3)上是減函數(shù)，∴ 不等式可化為f(2x＋2)＜f(x2－1)，

∴ －3＜x2－1＜2x＋2＜3，解得－1＜x＜ .