Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象上兩個相鄰的最值點為（$\frac{π}{6}$，2）和（$\frac{2π}{3}$，-2）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上的對稱中心、對稱軸；
（3）將函數(shù)f（x）圖象上每一個點向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函數(shù)h（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{3}$，0）上的最大值，并指出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上的對稱中心和對稱軸．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，利用三角恒等變換化簡h（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)h（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{3}$，0）上的最大值以及此時x的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）圖象上
兩個相鄰的最值點為（$\frac{π}{6}$，2）和（$\frac{2π}{3}$，-2），
∴A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，再根據(jù)五點法作圖，可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上的對稱中心為（$\frac{5π}{12}$，0）．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故函數(shù)的圖象的對稱軸為 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上的對稱軸為 x=$\frac{π}{6}$．
（3）將函數(shù)f（x）圖象上每一個點向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]
=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x的圖象，
令h（x）=f（x）•g（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）•cos2x=-4[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x]•cos2x
=-2$\sqrt{3}$sin2xcos2x-2cos²2x=-$\sqrt{3}$sin4x-2•$\frac{1+cos4x}{2}$=-2sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1．
在區(qū)間（-$\frac{π}{3}$，0）上，4x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{6}$），sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），
-2sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈（-1，2]，h（x）∈（-2，1]，
當4x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，-2sin（4x+$\frac{π}{6}$）取得最大值2，此時，h（x）取得最大值為1，此時，x=-$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值；正弦函數(shù)的圖象的對稱性；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角恒等變換換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．