【題目】①設(shè)三個正實(shí)數(shù)a ， b ， c ， 滿足 ，求證：a ， b ， c一定是某一個三角形的三條邊的長；

②設(shè)n個正實(shí)數(shù) a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 )，求證： a1,a2,...an 中任何三個數(shù)都是某一個三角形的三條邊的長.

【答案】①見解析②見解析

【解析】試題分析：本題主要考查了一般形式的柯西不等式，解決問題的關(guān)鍵是：①根據(jù)所給條件作差，、分解因式結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷即可；②設(shè)法把 中任何三個的關(guān)系轉(zhuǎn)化為①條件即可.

試題解析：①由題意，得 ，所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0 ，由于 a,b,c>0 ，所以上面不等式左邊至少有三項(xiàng)為正數(shù)，而四項(xiàng)之積為正，故這四項(xiàng)都是正數(shù)，從而推出 a+b>c,b+c>a,a,b,c>0，即 a,b,c 是某一個三角形的三條邊的長.

②設(shè)法把 a1,a2,...an 中任何三個的關(guān)系轉(zhuǎn)化為①的條件即可.

由已知及柯西不等式，得

.

所以， .

那么由①可知， a1,a2,a3 是某個三角形三條邊的長，再由對稱性可知 a1,a2,...an 中任何三個數(shù)都可以作為某一個三角形三條邊的長.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分10分）

（2017天津）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

連續(xù)劇播放時長（分鐘）

廣告播放時長（分鐘）

收視人次（萬）

甲

70

5

60

乙

60

5

25

已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用，表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．

（1）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

（2）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，是上的一點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）如圖（1），若，求證：平面；

（Ⅲ）如圖（2），若是的中點(diǎn)，,求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中，選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：

(1)記集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，則“p＝3”是“A∩B＝B”的__________________；

(2)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中， ， ，四邊形為矩形，且平面， .

（1）求證： 平面；

（2）點(diǎn)在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】請你設(shè)計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．

(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？

(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖在三棱錐P﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求證：

（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如圖，其中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值；若不存在，請說明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= sin ，若存在f（x）的極值點(diǎn)x0滿足x02+[f（x0）]2＜m2 ， 則m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）
B.（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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