Question

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積．

 

 

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）三棱錐的體積為．

【解析】

試題分析：（1）連接，要證平面，需證∥，而∥易證；

（2）用割補法，用長方體的體積減去四個三棱錐的體積即可，求得結果為.

試題解析：（1） 連結，如圖，

∵、分別是、的中點，是矩形，

∴四邊形是平行四邊形，

∴． 2分

∵平面，平面，

∴平面． 6分

（2） 解法1 連結，∵正方形的邊長為2，

，∴，，，則，

∴． 8分

又∵在長方體中，，，且，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面，即為三棱錐的高． 10分

∵，

∴． 12分

解法2： 三棱錐是長方體割去三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐后所得，而三棱錐、、、是等底等高，故其體積相等．

．

考點：線面平行的判定定理、空間幾何體的表面積和體積.