【題目】如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中， 分別為和的中點(diǎn).

(1)求證： 平面；

(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) 見(jiàn)解析(2) =

【解析】試題分析：（1）分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，面的一個(gè)法向量是，由即可證得；
（2）設(shè)點(diǎn)求解平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關(guān)系建立方程求解即可．

試題解析：

(1)證明：如圖所示，分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ，

∵平面的一個(gè)法向量是，

又∵，

∴，

∴，而平面，

∴平面.

(2)解：設(shè)點(diǎn)，

平面的一個(gè)法向量為，

則，∵， ，

∴，取，則， ，∴，

平面的一個(gè)法向量，

依題意知， 或，

∴，即，解得或 (舍)，

∵，

∴在棱上存在一點(diǎn)，當(dāng)的長(zhǎng)為時(shí)，二面角的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)在的單調(diào)性.（不需要證明）；

（2）探究是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，解不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點(diǎn)，且直線恰好通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記與的面積分別為，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時(shí)，求的值；

(2)若函數(shù)有正數(shù)零點(diǎn)，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若對(duì)于任意的時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】分別拋擲兩顆骰子各一次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：

(1)兩數(shù)之和為5的概率；

(2)以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)的點(diǎn)在圓內(nèi)部的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD． （Ⅰ）求證：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在線段EF上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 ．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】共享單車的推廣給消費(fèi)者帶來(lái)全新消費(fèi)體驗(yàn)，迅速贏得廣大消費(fèi)者的青睞，然而，同時(shí)也暴露出管理、停放、服務(wù)等方面的問(wèn)題，為了了解公眾對(duì)共享單車的態(tài)度（提倡或不提倡），某調(diào)查小組隨機(jī)地對(duì)不同年齡段50人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況整理如下表：

并且，年齡在和的人中持“提倡”態(tài)度的人數(shù)分別為5和3，現(xiàn)從這兩個(gè)年齡段中隨機(jī)抽取2人征求意見(jiàn).

（Ⅰ）求年齡在中被抽到的2人都持“提倡”態(tài)度的概率；

（Ⅱ）求年齡在中被抽到的2人至少1人持“提倡”態(tài)度的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）年齡在[20，25）中共有6人，其中持“提倡”態(tài)度的人數(shù)為5，其中抽兩人，基本事件總數(shù)n=15，被抽到的2人都持“提倡”態(tài)度包含的基本事件個(gè)數(shù)m=10，由此能求出年齡在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”態(tài)度的概率．（2）年齡在[40，45）中共有5人，其中持“提倡”態(tài)度的人數(shù)為3，其中抽兩人，基本事件總數(shù)n′=10，年齡在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”態(tài)度包含的基本事件個(gè)數(shù)m′=9，由此能求出年齡在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”態(tài)度的概率．

解析：

（1）設(shè)在中的6人持“提倡”態(tài)度的為， ， ， ， ，持“不提倡”態(tài)度的為.

總的基本事件有（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）.共15個(gè)，其中兩人都持“提倡”態(tài)度的有10個(gè)，

所以P==

（2）設(shè)在中的5人持“提倡”態(tài)度的為， ， ，持“不提倡”態(tài)度的為， .

總的基本事件有()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，共10個(gè)，其中兩人都持“不提倡”態(tài)度的只有()一種，所以P==

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若與交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求圓的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)是實(shí)數(shù)，已知奇函數(shù),

（1）求的值；

（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)的圖象恒過(guò)(0,0)和(1,1)兩點(diǎn)，則稱函數(shù)為“0-1函數(shù)”.

（1）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否是“0-1函數(shù)”，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由：

①； ②.

（2）若函數(shù)是“0-1函數(shù)”，求；

（3）設(shè) ，定義在R上的函數(shù)滿足：① 對(duì) , R，均有；② 是“0-1函數(shù)”，求函數(shù)的解析式及實(shí)數(shù)a的值．

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