Question

5．近年來我國電子商務行業(yè)迎來蓬勃發(fā)展新機遇，2016年雙11期間，某網(wǎng)絡購物平臺推銷了A，B，C三種商品，某網(wǎng)購者決定搶購這三種商品，假設該名網(wǎng)購者都參與了A，B，C三種商品的搶購，搶購成功與否相互獨立，且不重復搶購同一種商品，對A，B，C三件商品搶購成功的概率分別為a，b，$\frac{1}{4}（{a＞b}）$，已知三件商品都被搶購成功的概率為$\frac{1}{24}$，至少有一件商品被搶購成功的概率為$\frac{3}{4}$．
（1）求a，b的值；
（2）若購物平臺準備對搶購成功的A，B，C三件商品進行優(yōu)惠減免，A商品搶購成功減免2百元，B商品搶購成功減免4比百元，C商品搶購成功減免6百元．求該名網(wǎng)購者獲得減免總金額（單位：百元）的分別列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用相互獨立及其對立事件的概率計算公式可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$．
（Ⅱ）由題意，令網(wǎng)購者獲得減免的總金額為隨機變量X（單位：百元），則X的值可以為0，2，4，6，8，10，12．再利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
因為a＞b，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$．                    …（4分）
（Ⅱ）由題意，令網(wǎng)購者獲得減免的總金額為隨機變量X（單位：百元），
則X的值可以為0，2，4，6，8，10，12．         …（5分）
而$P（X=0）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$P（X=2）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$P（X=4）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$；$P（X=6）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=\frac{5}{24}$；$P（X=8）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$；$P（X=10）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$；$P（X=12）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$．                   …（9分）
所以X的分布列為：

X	0	2	4	6	8	10	12
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{24}$

于是有$E（X）=0×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+6×\frac{5}{24}+8×\frac{1}{12}+10×\frac{1}{24}+12×\frac{1}{24}=\frac{23}{6}$…（12分）

點評 本題考查了相互獨立及其對立事件的概率計算公式、分布列及其數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．