Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}中，設(shè)S_n是它的前n項(xiàng)和，若log₂（S_n+1）=n+1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由log₂（S_n+1）=n+1，得S_n+1=2ⁿ⁺¹，∴${S}_{n}={2}^{n+1}-1$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+1}-1-{2}^{n}+1={2}^{n}$，
當(dāng)n=1時(shí)，上式不成立，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3{，_{\;}}_{\;}n=1\\{2^n}{，_{\;}}n≥2\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．