Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（3x-1）-ax+a，其中a＜1，若僅有一個(gè)整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{2}{e}$，1）
• B． [-$\frac{2}{e}$，$\frac{3}{4}$）
• C． [$\frac{2}{e}$，$\frac{3}{4}$）
• D． [$\frac{2}{e}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，對(duì)g（x）求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線h（x）=ax-a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，解g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a≥0，求得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，
則g′（x）=e^x（3x+2），
∴x∈（-∞，$-\frac{2}{3}$），g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
x∈（$-\frac{2}{3}$，+∞），g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴x=$-\frac{2}{3}$，取最小值-3${e-}^{\frac{2}{3}}$，
∴g（0）=-1＜-a=h（0），
g（1）-h（1）=2e＞0，
直線h（x）=ax-a恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，
∴g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a≥0，
∴a≥$\frac{2}{e}$，
a＜1，
∴a的取值范圍[$\frac{2}{e}$，1）．
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，涉及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．