Question

11．已知函數f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若k=2016，關于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過k為偶數與奇數，求解函數的極值即可．
（2）k=2016，化簡關于x的方程f（x）=2ax，構造函數g（x）=x²-2alnx-2ax，求出函數的導數，求出極值點，判斷函數的單調性，利用函數的零點個數，求解即可．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
可得$f'（x）=2x-{（-1）^k}2a•\frac{1}{x}$，
當k為奇數時，$f'（x）=2x+\frac{2a}{x}＞0$，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（x）無極值．
當k為偶數時，$f'（x）=2x-\frac{2a}{x}=\frac{{2{x^2}-2a}}{x}=\frac{{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}}{x}$，
∴f（x）在$（0，\sqrt{a}）$上單調遞減，$（\sqrt{a}，+∞）$上單調遞增，
∴f（x）有極小值，$f{（x）_{極小值}}=f（\sqrt{a}）=a-2aln\sqrt{a}=a-alna$…（5分）
（2）∵k=2016，則f（x）=x²-2alnx，
令g（x）=x²-2alnx-2ax，$g'（x）=2x-\frac{2a}{x}-2a=\frac{{2{x^2}-2ax-2a}}{x}=\frac{2}{x}（{x^2}-ax-a）$
令g′（x）=0，∴x²-ax-a=0，∵a＞0，x＞0，∴${x_0}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+4a}}}{2}$．
當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，x₀）上單調遞減．
當x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（x₀，+∞）上單調遞增…（9分）
又g（x）=0有唯一解，∴$\left\{{\begin{array}{l}{g（{x_0}）=0}\\{g'（{x_0}）=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x_0^2-2aln{x_0}-2a{x_0}=0，①}\\{x_0^2-a{x_0}-a=0，②}\end{array}}\right.$…（10分）
②-①得：2alnx₀+ax₀-a=0⇒2lnx₀+x₀-1=0⇒x₀=1．
∴1²-a-a=0．
∴$a=\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力．