19．已知函數(shù)f（x）=（x-1）3+2014（x-1），等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且f（a2）+f（a2014）=0，則S2015=（　　）
A．4030B．4028C．2015D．2014

分析 f（a2）+f（a2014）=0，可得$（{a}_{2}-1）^{3}+2014（{a}_{2}-1）$+$（{a}_{2014}-1）^{3}$+2014（a2014-1）=0，化為a2+a2014=2．再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵f（a2）+f（a2014）=0，
∴$（{a}_{2}-1）^{3}+2014（{a}_{2}-1）$+$（{a}_{2014}-1）^{3}$+2014（a2014-1）=0，
設(shè)a2-1=a，a2014-1=b，
∴a3+2014a+b3+2014b=0，
化為（a+b）（a2+b2-ab+2014）=0，
∵a2+b2-ab+2014＞0，
∴a+b=0，
即a2+a2014=2．
∴S2015=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=$\frac{2015（{a}_{2}+{a}_{2014}）}{2}$=2015，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)、乘法公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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A．64B．4$\sqrt{2}$C．$\frac{\sqrt{2}}{4}$D．$\frac{1}{4}$

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