【題目】如圖,在幾何體A1B1D1﹣ABCD中,四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形,且AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=2A1D1=2A1B1=4,AA1=4,P為DD1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥PC;
(Ⅱ)求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積.
【答案】證明:(Ⅰ)∵幾何體A1B1D1﹣ABCD中,四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形,且AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,
∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AB=2A1D1=2A1B1=4,AA1=4,P為DD1的中點(diǎn).
∴A(0,0,0),B1(2,0,4),
C(4,4,0),D(0,4,0),D1(0,2,4),P(0,3,2),
=(2,0,4), =(4,1,﹣2),
=8+0﹣8=0,
∴AB1⊥PC.
(Ⅱ) =(4,0,0), =(0,﹣1,2),| |= ,DC⊥DP,
| |=| |= =6,| |= =2 ,| |= ,
C到直線(xiàn)DD1的距離d=| | =4
幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積:
+ + +
= + + + +
=42+6 +2 .
【解析】(Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明AB1⊥PC.(Ⅱ)幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積: + + + .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握相交直線(xiàn):同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線(xiàn):同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線(xiàn): 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)= x3+x2﹣ax+3a在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,AB=4,AA1=6,若E,F(xiàn)分別是棱BB1 , CC1上的點(diǎn),且BE=B1E,C1F= CC1 , 則異面直線(xiàn)A1E與AF所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立. (I) 求m 的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)m取最大值時(shí),解關(guān)于x的不等式:|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量 =( ,1), =(cosA+1,sinA),且 的值為2+ .
(1)求∠A的大小;
(2)若a= ,cosB= ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn): ,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于, 兩點(diǎn).
(1)若直線(xiàn), 的斜率之積為,證明:直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn);
(2)若線(xiàn)段的中點(diǎn)在曲線(xiàn): 上,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,△BCD為正三角形,AD=AB=2, ,AC與BD中心O點(diǎn),將△ACD沿邊AC折起,使D點(diǎn)至P點(diǎn),已知PO與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:平面PAC⊥平面PDB;
(2)求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0),其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x+1=0,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)T(t,0)(t>0)且與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)方程,并證明: 的值與直線(xiàn)l傾斜角的大小無(wú)關(guān);
(2)若P為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),記|PT|的最小值為函數(shù)d(t),求d(t)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)總體分為A,B兩層,其個(gè)體數(shù)之比為5:1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為12的樣本,已知B層中甲、乙都被抽到的概率為 ,則總體中的個(gè)數(shù)為 .
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