Question

已知兩定點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，

PA

•

PB

+

PQ

=0
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）直線l交y軸于點(diǎn)C（0，m），交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且滿足

MC

=3

CN

，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,軌跡方程

專題：平面向量及應(yīng)用,向量與圓錐曲線

分析：（1）首先根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量的數(shù)量積，和向量的模，根據(jù)條件求出軌跡的方程．
（2）進(jìn)一步利用第一步的結(jié)論，與直線建立方程組，然后根據(jù)

2x2+y2=1 y=kx+m

得到：（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0，利用判別式建立m和k的關(guān)系式，進(jìn)一步利用條件得到橫坐標(biāo)的關(guān)系，然后利用根和系數(shù)的關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則：
P在y軸上的射影為Q，Q（0，y）
則：

PA

=(1-x，-y)，

PB

=(-1-x，-y)，

PQ

=(-x，0)
所以：

PQ

2=x2
由于：

PA

•

PB

+

PQ

2=0
所以：x²+y²-1+x²=0
即：2x²+y²=1
所以：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為：2x²+y²=1
（2）直線l交y軸于點(diǎn)C（0，m），則：設(shè)直線的方程為：y=kx+m，
與軌跡E的坐標(biāo)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則：聯(lián)立的方程組為：

2x2+y2=1 y=kx+m

整理得：（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0
所以△=4k²m²-4（2+k²）（m²-1）＞0
整理得：2+k²＞2m²
所以：x1+x2=

-2km

2+k2

，x1x2=

m2-1

2+k2

又：

MC

=3

CN

則：-x₁=3x₂
所以：k²（4m²-1）=2-2m²
整理得：2+

2-2m2

4m2-1

＞2m2
化簡(jiǎn)為：

1

4

＜m2＜1
解得：-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
所以：實(shí)數(shù)m的取值范圍為：-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積，軌跡方程的求法，根與系數(shù)的關(guān)系，利用方程組求參數(shù)的取值范圍．屬于難題．