【題目】已知函數(shù)在處的切線斜率為.

（1）求實數(shù)的值，并討論函數(shù)的單調性；

（2）若，證明：.

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

(1)先對函數(shù)求導，由函數(shù)在處的切線斜率為即可求出的值，進而可得函數(shù)的單調性；

(2)要證，即證，構造函數(shù)，，用導數(shù)的方法求函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值，即可得出結論.

（1）

由切線斜率，解得．

，其定義域為，

令，解得，故在區(qū)間上單調遞增；

令，解得，且，故在區(qū)間和區(qū)間上單調遞減；

（2）由（1）知，定義域為．

從而等價于，

設，則，.

當時，，當時，.

故在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

從而在的最小值為.

設，則，

當時，，當時，

故在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，

從而在的最大值為，

綜上所述，在區(qū)間上恒有成立，即．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；

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【題目】2019年11月2日，中國藥品監(jiān)督管理局批準了治療阿爾茨海默病（老年癡呆癥）新藥GV-971的上市申請，這款新藥由我國科研人員研發(fā)，我國擁有完全知識產權.據(jù)悉，該款藥品為膠囊，從外觀上看是兩個半球和一個圓柱組成，其中上半球是膠囊的蓋子，粉狀藥物儲存在圓柱及下半球中.膠囊軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其周長為50毫米，藥物所占的體積為圓柱體積和一個半球體積之和.假設的長為毫米.（注：，，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）

（1）求膠囊中藥物的體積關于的函數(shù)關系式；

（2）如何設計與的長度，使得最大？

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【題目】設,

(1)當時,求在上的最大值和最小值;

(2)當時,過點作函數(shù)的圖象的切線,求切線方程.

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Ⅰ求證：平面PAB；

Ⅱ求證：平面平面PCD；

Ⅲ當直線PC與平面PAD所成的角大小為時，求線段PA的長．

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