Question

16．f（x）=log_a$\frac{1-mx}{1-x}$為奇函數(shù)（a＞1）
（1）求實數(shù)m的值；
（2）解不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-x）＜0．

Answer 1

分析 （1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）+f（-x）=0，代入得出m=-1；
（2）因為f（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=（-1+$\frac{2}{1-x}$）且a＞1，所以f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，再列不等式求解．

解答 解：（1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）+f（-x）=0，
即log_a$\frac{1-mx}{1-x}$+log_a$\frac{1+mx}{1+x}$=log_a$\frac{1-m^2x^2}{1-x^2}$=0，
所以，$\frac{1-m^2x^2}{1-x^2}$=1，解得m²=1，
因此，m=-1（舍m=1）；
（2）因為f（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=（-1+$\frac{2}{1-x}$）且a＞1，
所以函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
而f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-x）＜0可化為：f（x-$\frac{1}{2}$）＜f（x-$\frac{1}{4}$），
不等式等價為：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-\frac{1}{2}＜1}\\{-1＜x-\frac{1}{4}＜1}\\{x-\frac{1}{2}＜x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
即不等式f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-x）的解集為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，不等式的解法，屬于中檔題．