Question

3．在極坐標系中，已知曲線C₁與C₂的極坐標方程分別為ρ=2sinθ與ρcosθ=-1（0≤θ＜2π）．求：
（1）兩曲線（含直線）的公共點P的極坐標；
（2）過點P被曲線C₁截得弦長為$\sqrt{2}$的直線極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）將曲線C₁與C₂的極坐標方程分別為ρ=2sinθ與ρcosθ=-1化成直角坐標方程．求出交點P，化為極坐標．
（2）過P點利用點斜式設出直線方程，利用弦長公式求解出斜率k，可得方程，化為直線極坐標方程即可．

解答 解：（1）曲線C₁與C₂的極坐標方程分別為ρ=2sinθ與ρcosθ=-1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²
可得：曲線C₁普通方程為：x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1
C₂的直線普通方程為：x=-1．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{x=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即P的坐標為（-1，1）
由x²+y²=ρ²，tanθ=$\frac{x}{y}$，
可得：P的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（2）由（1）可得P的坐標為（-1，1），曲線C₁方程為：x²+（y-1）²=1，圓心（0，1），半徑r=1，
設過P點的直線斜率存在，設直線方程為y-1=k（x+1），即kx-y+1+k=0．
∵弦長$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-rp1hv1j^{2}}$
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|k|}{\sqrt{2}}$
解得：k=±1，
故得直線方程為x-y+2=0或x+y=0．
∴x-y+2=0直線極坐標方程為ρ（cosθ-sinθ）=-2．
即ρsin（θ$-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
∴x+y=0直線極坐標方程為：θ=$\frac{3π}{4}$（ρ∈R）

點評 本題考察了直線極坐標方程和求法，極坐標方程化成普通方程的求法和點到直線的距離公式．屬于中檔題．