Question

11．在如圖所示的多面體中，底面BCFE是梯形，EF∥BC，EF⊥EB，又平面ABE⊥平面BCFE，AD∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$．
（1）在BC上是否存在點(diǎn)G，使BD⊥EG，若存在，試確定G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）求二面角C-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF⊥平面ABE，AE⊥BE，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法能求出G為BC中點(diǎn)時(shí)，BD⊥EG；
（2）求出平面EFDA的一個(gè)法向量和平面DCF的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角C-DF-E的正弦值．

解答 解：（1）∵平面ABE⊥平面BCFE，平面ABE∩平面BCFE=BE，EF⊥EB，
∴EF⊥平面ABE，
∵AE=BE=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AE²+BE²=AB²，∴AE⊥BE，…（2分）
如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，
則B（2，0，0）D（0，2，2），E（0，0，0）$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，2）
假設(shè)在BC上存在點(diǎn)G，使BD⊥EG存在，設(shè)G（2，t，0），
則$\overrightarrow{EG}$=（2，t，0），
要使BD⊥EG，只需$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EG}$=-4+2t=0，解得t=2，
即G為BC中點(diǎn)時(shí)，BD⊥EG．…6 分
（2）由已知可得$\overrightarrow{EB}$=（2，0，0）是平面EFDA的一個(gè)法向量．…（7分）
設(shè)平面DCF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
F（0，3，0），C（2，4，0），$\overrightarrow{FD}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{FC}$=（2，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），…（9分）
設(shè)二面角C-FD-E的大小為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{2\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
sinθ=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，…（11分）
∴二面角C-DF-E的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．