Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（a是常數(shù)）． 
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當y=f（x）在x=1處取得極值時，若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）求證：當n≥2，n∈N^*時，（1+

1

22

）（1+

1

32

）…（1+

1

n2

）＜e．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x-ln（x+a），定義域為{x|x＞-a}．f′(x)=1-

1

x+a

=

x+a-1

x+a

．對a分類討論即可得出；
（2）函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，可得f′（1）=0，解得a=0．關于x的方程f（x）+2x=x²+b化為x²-3x+lnx+b=0．令g（x）=x²-3x+lnx+b，（x∈[

1

2

，2]）．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，
關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，必須滿足

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，解得即可．
（3）由（1）可知：a=1，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，可得：當x≥0時，x＞ln（1+x）．令x=

1

n2

（n∈N^*），則ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．利用“累加求和”、對數(shù)的運算性質(zhì)、放縮、“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x-ln（x+a），定義域為{x|x＞-a}．
f′(x)=1-

1

x+a

=

x+a-1

x+a

．
當a≥1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＜1時，令f′（x）＞0，解得x＞1-a，此時函數(shù)f（x）在（1-a，+∞）上單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得-a＜x＜1-a，此時函數(shù)f（x）在（-a，1-a）上單調(diào)遞減．
（2）∵函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=0，解得a=0．
關于x的方程f（x）+2x=x²+b化為x²-3x+lnx+b=0．
令g（x）=x²-3x+lnx+b，（x∈[

1

2

，2]）．
g′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，解得x=

1

2

或1．令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
令g′（x）＜0，解得

1

2

≤x＜1，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∵關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
則

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，解得

5

4

+ln2≤b＜2．
∴實數(shù)b的取值范圍是

5

4

+ln2≤b＜2；
（3）由（1）可知：a=1，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x≥0時，x＞ln（1+x）．
令x=

1

n2

（n∈N^*）．
則ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．
依次取n=2，3，…，n．
累加求和可得：ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．
當n≥2時，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
依次取n=2，3，…，n．則

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

．
∴ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜1-

1

n

＜1．
∴（1+

1

22

）（1+

1

32

）…（1+

1

n2

）＜e．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、“累加求和”、對數(shù)的運算性質(zhì)、放縮、“裂項求和”等基礎知識與基本技能方法，考查了等價問題轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．