Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，n∈N^*
（1）證明：數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（2）設an=(

bn

3n

)2，求正項數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把已知的數(shù)列遞推式展開整理，移向后作比即可證得數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（2）由數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列求出其通項公式，得到數(shù)列{a_n}的通項公式，代入an=(

bn

3n

)2求出正項數(shù)列{b_n}的通項公式，然后利用錯位相減法求和．

解答： （1）證明：由n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，得
nan+1-nan-an=n2+n，即na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1．
∴數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（2）解：∵數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列，
∴

an

n

=1+(n-1)=n，
則an=n2．
由an=(

bn

3n

)2，得(

bn

3n

)2=n2，
∴bn=n3n．
∴Sn=1•31+2•32+…+n•3n，
3Sn=1•32+2•33+…+n•3n+1，
兩式作差得：-2Sn=3+32+…+3n-n•3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1．
∴Sn=

3

4

(1-3n)+

n

2

•3n+1．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．