Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，若過點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，則切線方程是（　�。�

• A、9x+y-16=0
• B、9x-y+16=0
• C、x+9y-16=0
• D、x-9y+16=0

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出f'（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=±1處取得極值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a與b得到函數(shù)解析式，再判斷點(diǎn)A（0，16）不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），分別代入導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)中寫出切線方程，因?yàn)锳點(diǎn)在切線上，把A坐標(biāo)代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出切線方程．

解答： 解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依
題意，f'（1）=f'（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
∵曲線方程為y=x³-3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y₀=x₀³-3x₀．
因f'（x₀）=3（x₀²-1），
故切線的方程為y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）
注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有16-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（0-x₀）
化簡(jiǎn)得x₀³=-8，
解得x₀=-2．
所以，切點(diǎn)為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意過點(diǎn)的切線和在點(diǎn)處的切線的不同．