Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（2）討論方程f（x）=0解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，列出方程組求解a，b．
（2）通過a=0，a＜0，判斷方程的解．a(chǎn)＞0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值，分析出當(dāng)a∈[0，e）時，方程無解；當(dāng)a＜0或a=e時，方程有惟一解；當(dāng)a＞e時方程有兩解．

解答： 解：（1）因?yàn)椋?span id="99aysve" class="MathJye">f′(x)=x-

a

x

（x＞0），又f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b
所以  

2-aln2=2+b 2- a 2 =1

解得：a=2，b=-2ln2…（4分）
（2）當(dāng)a=0時，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時方程無解；…（5分）
當(dāng)a＜0時，f′(x)=x-

a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)．∵f(1)=

1

2

＞0，f(e

1

2

)=

1

2

e

2

a

-1＜0，所以方程有惟一解．…（6分）
當(dāng)a＞0時，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x+ a )(x- a)

x

因?yàn)楫?dāng)x∈(0，

a

)時，f'（x）＞0，f（x）在(0，

a

)內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(

a

，+∞)時，f（x）在(

a

，+∞)內(nèi)為增函數(shù)．
所以當(dāng)x=

a

時，有極小值即為最小值f(

a

)=

1

2

a-aln

a

=

1

2

a(1-lna)…（7分）
當(dāng)a∈（0，e）時，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＞0，此方程無解；
當(dāng)a=e時，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)=0．此方程有惟一解x=

a

．
當(dāng)a∈（e，+∞）時，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＜0，
因?yàn)?span id="lf06qoh" class="MathJye">f(

1

2

)=

1

2

＞0且1＜

a

，所以方程f（x）=0在區(qū)間(0，

a

)上有惟一解，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時，（x-lnx）'＞0，所以x-lnx＞1，
所以，x＞lnx，f(x)=

1

2

x2-alnx＞

1

2

x2-ax，
因?yàn)?nbsp; 2a＞

a

＞1，所以 f(x)＞

1

2

(2a)2-2a2=0，
所以  方程f（x）=0在區(qū)間(

a

，+∞)上有惟一解．
所以方程f（x）=0在區(qū)間（e，+∞）上有惟兩解． …（11分）
綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時，方程無解；
當(dāng)a＜0或a=e時，方程有惟一解；
當(dāng)a＞e時方程有兩解． …（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，函數(shù)的切線方程，考查分析問題解決問題的能力．