[已知函數(shù)f(x)=loga
1-mx
x-1
是奇函數(shù)(a<0且a≠1)
(1)求m的值;
(2)判斷f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性并加以證明;
(3)當(dāng)a>1,x∈(1,
3
)
時,f(x)的值域是(1,+∞),求a的值.
考點:對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題:計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由f(x)是奇函數(shù)知f(-x)=-f(x)在其定義域內(nèi)恒成立,從而解出m并檢驗;
(2)當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù);利用定義證明;
(3)當(dāng)a>1時,f(x)=loga
x+1
x-1
(1,
3
)
上為減函數(shù),要使f(x)在(1,
3
)
上值域是(1,+∞),即loga
x+1
x-1
>1
,可得
x+1
x-1
>a
.從而構(gòu)造函數(shù)求解.
解答: 解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x)在其定義域內(nèi)恒成立,
loga
1+mx
-x-1
=-loga
1-mx
x-1

∴1-m2x2=1-x2,
∴m=-1或m=1(舍去),
∴m=-1.
(2)當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù),證明如下,
由(1)得f(x)=loga
x+1
x-1
(a>0且a≠1)

設(shè)t(x)=
x+1
x-1
,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2
t(x1)-t(x2)=
x1+1
x1-1
-
x2+1
x2-1
=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
,
∵x1>1,x2>1,x1<x2
∴t(x1)>t(x2),
x1+1
x1-1
x2+1
x2-1
;
所以當(dāng)a>1時,loga
x1+1
x1-1
>loga
x2+1
x2-1
即f(x1)>f(x2)

函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù);
所以當(dāng)0<a<1時,loga
x1+1
x1-1
<loga
x2+1
x2-1
即f(x1)<f(x2)

函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù);
(3)當(dāng)a>1時,f(x)=loga
x+1
x-1
(1,
3
)
上為減函數(shù),
要使f(x)在(1,
3
)
上值域是(1,+∞),即loga
x+1
x-1
>1
,可得
x+1
x-1
>a

g(x)=
x+1
x-1
=1+
2
x-1
(1,
3
)
上是減函數(shù).
所以g(x)∈(1+
2
3
-1
,+∞)
,
所以a=1+
2
3
-1
=2+
3
.所以a=2+
3
點評:本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2x+
1
x
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1
2
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DD1
DA1
=
3
10
10
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A、
6
5
B、1
C、
8
5
D、2

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A、
B、
C、
D、

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直線y=
3
3
x的傾斜角為(  )
A、30°B、60°
C、120°D、150°

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