Question

19．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，BB₁=3，連結(jié)BC₁，過B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于點E．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁D₁E；
（2）求三棱錐C₁-B₁D₁E的體積；
（3）求C₁到面B₁D₁E的距離．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C₁，證明AC₁⊥B₁D₁．AC₁⊥B₁E，利用直線與平面垂直的判定定理證明AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）求出C₁E=$\frac{4}{3}$，轉(zhuǎn)換底面，求三棱錐C₁-B₁D₁E的體積；
（3）利用等體積求C₁到面B₁D₁E的距離．

解答 （1）證明：連接A₁C₁，由條件得A₁B₁C₁D₁是正方形，因此B₁D₁⊥A₁C₁，
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥B₁D₁，因此B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
所以AC₁⊥B₁D₁．同理可證：AC₁⊥B₁E．B₁D₁∩B₁E=B₁，
所以AC₁⊥平面EB₁D₁．
（2）解：tan∠B₁BC₁=tan∠C₁B₁E，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{{C}_{1}E}{2}$，
∴C₁E=$\frac{4}{3}$，
三棱錐C₁-B₁D₁E的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$；
（3）解：△B₁D₁E中，B₁D₁=2$\sqrt{2}$，D₁E=B₁E=$\sqrt{4+\frac{16}{9}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，∴${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{\frac{52}{9}-2}$=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$
設C₁到面B₁D₁E的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{17}}{3}h=\frac{8}{9}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，考查點面距離，考查三棱錐的體積，考查空間想象能力以及計算能力．