Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像為C，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為且為圖像C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，記向量恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線(xiàn)性近似，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)。

（Ⅰ）求證：A、B、N三點(diǎn)共線(xiàn)

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上可的標(biāo)準(zhǔn)k下線(xiàn)性近似，求k的取值范圍；

（Ⅲ）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)下線(xiàn)性近似。

（參考數(shù)據(jù)：e=2.718,ln（e-1）=0.541）

Answer 1

解(Ⅰ)由=λ+(1－λ)得到=λ，

所以B，N，A三點(diǎn)共線(xiàn). ………3分                           

(Ⅱ)由x=λ x₁+(1－λ) x₂與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標(biāo)相同．

對(duì)于 [0，1]上的函數(shù)y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

則有，故；

所以k的取值范圍是．………8分            

(Ⅲ)對(duì)于定義在上的函數(shù)，A()，B()，    

則直線(xiàn)AB的方程，………10分

令，其中，

于是，       

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		減	0

則，且在處取得最大值，

又0.123，從而命題成立．  ………14分