Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心，OF為半徑的圓與該雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{c}{2}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由三角形性質(zhì)可知：（$\frac{c}{2}$）²+y²=c²，代入即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，同時(shí)a²，由e=$\frac{c}{a}$，整理得e²-8e²+4=0，由離心率的取值范圍即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：設(shè)圓與該雙曲線的交點(diǎn)P（$\frac{c}{2}$，y），過(guò)P做x軸的垂線交x軸交點(diǎn)為D，
在三角形PDF中，（$\frac{c}{2}$）²+y²=c²，解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由雙曲線的性質(zhì)可知：b²=c²-a²，
將P（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}=1$，兩邊同時(shí)除以a²，
由e=$\frac{c}{a}$，
整理得：e²-8e²+4=0，解得：e²=4±2$\sqrt{3}$，
由e＞1，
∴e²=4+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$+1）²，
∴e=$\sqrt{3}$+1，
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，離心率的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．