如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（
2
，
6
2
）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
①設直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
②設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意c=1，
2
a2
+
3
2
b2
=1，解出即可；
（2）①設P（x0，y0）（y0≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點M的坐標，利用斜率計算公式即可得出k1，k2，再利用點P在橢圓上即可證明．
②利用直線的點斜式及其①的有關(guān)結(jié)論即可證明．
解答： 解：（1）由題意橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（
2
，
6
2
），
∴c=1，
2
a2
+
3
2
b2
=1
∴解得a=2，b=
3
，
∴橢圓E的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）①設P（x0，y0）（y0≠0），
則直線AP的方程為：y=
y0
x0+2
（x+2）
令x=2得M（2，
4y0
x0+2
）
∴k1=
2y0
x0+2
，
∵k2=
y0
x0-2
，
∴k1k2=
2y02
x02-4
，
∵P（x0，y0）在橢圓上，∴
x02
4
+
y02
3
=1
∴k1k2=-
3
2
為定值．
②直線BP的斜率為k2=
y1
x1-2
，直線m的斜率為km=
2-x1
y1
，
則直線m的方程為y=
2-x1
y1
（x-2）+y0=
2-x1
y1
（x-2）+
4y1
x1+2
=
2-x1
y1
（x+1），
所以直線m過定點（-1，0）．
點評：熟練掌握橢圓的定義及其性質(zhì)、斜率的計算公式及其直線的點斜式是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明過的結(jié)論是解題的技巧．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A={x|-2≤x≤5}，
（1）．設U=R，若B={x|m≤x≤m+3}，且（∁UA）∩B=∅，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）．若B={x|m+1≤x≤2m-1}，且A∪B=A，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x=a、x=b是函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
x2-（m+2）x（m∈R）的兩個極值點，若
b
a
≥4．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）求f（b）-f（a）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（
3
cosx-
3
，sinx），
b
=（1+cosx，cosx），設f（x）=
a
•
b
，求：
（1）f（x）的解析式并簡化；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
6
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面A1ACC1為菱形，∠A1AC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中點．
（I）求證：A1C⊥BN；
（Ⅱ）求二面角B-A1N-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，并且經(jīng)過定點P（
3
，
1
2
）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）問是否存在直線y=-x+m，使直線與橢圓交于A、B兩點，滿足
OA
•
OB
=
12
5
，若存在求m值，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l的方程為kx-y+1=0（k∈R），圓C的方程為x2+y2-2x-3=0．
（1）試判斷直線與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）過點（0，1）作直線l1⊥l，設直線l1與圓C相交于M，N兩點，直線l與圓C相交于P，Q兩點，則四邊形PMQN的面積是否存在最大值和最小值？若存在，請求出，否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

當x＞1時，關(guān)于函數(shù)f（x）=x+
1
x-1
，則函數(shù)f（x）有最小值
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，M（x，y）為不等式組
2x-y-2≥0
x+2y-1≥0
3x+y-8≤0
所表示的區(qū)域上一動點，則z=
y
x
的最小值為（　�。�
A、2
B、1
C、-
1
2
D、-
1
3

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