Question

1．已知函數(shù)f （ x ）=ln x和g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a（其中a為常數(shù)），直線l與f （ x ） 和g （ x ）的圖象都相切，且與f （ x ） 的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（Ⅰ）求l的方程和a的值；  
（Ⅱ）記h （ x ）=f （ x²+1）-g （ x ）-ln 2，求函數(shù)h （ x ） 的極大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的切線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程，聯(lián)立直線l與函數(shù)g（x），化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式等于0求得a值；
（Ⅱ）把a(bǔ)值代入g（x）的解析式，進(jìn)一步得到h （ x ）=f （ x²+1）-g （ x ）-ln 2，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極大值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，l與f （x）圖象相切的切點(diǎn)為（1，0），
而f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴k_l=1，
從而l：y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+a}\end{array}\right.$，得x²-2x+2a+2=0，
判別式△=（-2）²-4×（2a+2）=0，解得a=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）記h（x）=f （ x²+1）-g（x）-ln2，
則h（x）=ln （ x²+1）-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$-ln2 （x∈R），
$h'（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}-x=\frac{{x-{x^3}}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{-（x+1）x（x-1）}{{{x^2}+1}}$，
令h'（x）＜0，得（x+1）x（x-1）＞0，即-1＜x＜0或x＞1，
令h'（x）＞0，得（x+1）x（x-1）＜0，即x＜-1或0＜x＜1．
∴h（x）在（-1，0），（1，+∞）上為減函數(shù)，在（-∞，-1），（0，1）上為增函數(shù)．
∴x=-1及x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（-1）=h（1）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．