Question

13．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題中正確的有①②③④
 （寫出所有正確命題序號(hào)）．
    ①總存在某內(nèi)角α，使cosα≤$\frac{1}{2}$；  
②若AsinB＞BsinA，則B＜A；
③若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABC的最小角小于$\frac{π}{6}$；
④若a＜tb（0＜t≤1），則A＜tB．

Answer 1

分析 ①可先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷角α的范圍，從而確定cosα的值域；
②構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$（0＜x＜π），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，從而得到B＜A，即可判斷②；
③將$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，化簡(jiǎn)整理運(yùn)用不共線結(jié)論，得到2a=b=c，再運(yùn)用余弦定理求出cosA，即可判斷；
④構(gòu)造函數(shù)f（x）=tsinx-sin（tx），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)用單調(diào)性得到tsinB＜sin（tB），又sinA＜tsinB，再根據(jù)和差化積公式，結(jié)合角的范圍即可判斷．

解答 解：①假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都小于60°，則三內(nèi)角和必小于180°，與內(nèi)角和定理矛盾，故必有一內(nèi)角大于或等于60°，設(shè)為α，則cosα≤cos60°=$\frac{1}{2}$，故①正確；
②設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$（0＜x＜π），則導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
若$\frac{π}{2}$≤x＜π，則f′（x）＜0，
又AsinB＞BsinA，即 $\frac{sinB}{B}$＞$\frac{sinA}{A}$⇒B＜A，
若0＜x＜$\frac{π}{2}$，則由于tanx＞x，
故f′（x）＜0，即有B＜A，故②正確；
③若2a$\overrightarrow{BC}$+b$\overrightarrow{CA}$+c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即2a（ $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）-b $\overrightarrow{AC}$+c $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，即（2a-b） $\overrightarrow{AC}$=（2a-c） $\overrightarrow{AB}$，
由于 $\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$不共線，故2a-b=2a-c=0，即2a=b=c，
由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故最小角小于$\frac{π}{6}$，故③正確；
④若a＜tb（0＜t≤1），則由正弦定理得，sinA＜tsinB，
令f（x）=tsinx-sin（tx），則f′（x）=tcosx-tcos（tx），
由于0＜tx＜x＜π，則cos（tx）＞cosx，即f′（x）＜0，tsinx＜sin（tx）即tsinB＜sin（tB），
故有sinA＜sin（tB），即2cos $\frac{A+tB}{2}$sin $\frac{A-tB}{2}$＜0，
故有A＜tB，故⑤正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查正弦、余弦定理及應(yīng)用，考查向量中這樣一個(gè)結(jié)論：若a $\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共線）則a=b=0，還考查三角形中的邊角關(guān)系以及構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性證明結(jié)論，屬于綜合題．