Question

已知函數(shù)f（x）=2ax²+bx-3a+1，當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，f（x）≥0恒成立，則5a+b的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，f（0）≥0成立，所以a≤

1

3

，再分類討論，利用線性規(guī)劃知識(shí)求解，即可求出5a+b的最小值．

解答： 解：由題意，f（0）≥0成立，所以a≤

1

3

．
①0＜a≤

1

3

時(shí)，則問(wèn)題等價(jià)于

- b 4a ≤-4 f(-4)≥0

（1）或

- b 4a ≥4 f(4)≥0

（2）或（3）f(-

b

4a

)≥0
（1）

16a-b≤0 29a-4b+1≥0

，對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)o（0，0）時(shí)，取得最小值0；

（2）

16a+b≤0 29a+4b+1≥0

對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（

1

35

，-

16

35

）時(shí)，取得最小值-

11

35

（3）24a²-8a+b²≤0，對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（

1

21

，-

12

21

）時(shí)，取得最小值-

1

3

；

a≤0時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于

f(-4)≥0 f(4)≥0

，

29a-4b+1≥0 29a+4b+1≥0

，對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-

1

4

）時(shí)，取得最小值-

1

4

，

綜上，a=

1

21

，b=-

12

21

時(shí)，取得最小值-

1

3

．
故答案為：-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．