Question

20．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$，
（1）函數(shù)$F（x）=f（{e^x}）-k（{x+\frac{x^3}{6}}）$，其中k為實(shí)數(shù)，
①求F'（0）的值；
②對(duì)?x∈（0，1），有F（x）＞0，求k的最大值；
（2）若$g（x）=\frac{{{x^2}+2lnx}}{a}$（a為正實(shí)數(shù)），試求函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，求出符合條件的a的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，減少F′（0）的值即可；②記h（x）=F'（x），求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定k的最大值即可；
（2）聯(lián)立方程組，得到G（a）=8lna-8ln2-a²+8，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）由$F（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}-k（{x+\frac{x^3}{6}}）$得$F'（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}-k（{1+\frac{x^2}{2}}）$，
①F'（0）=2-k-------------------------------------------------------------（3分）
②記h（x）=F'（x），則$h'（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}-kx$，
記m（x）=h'（x），則$m'（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}-k$，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，${e^x}+\frac{1}{e^x}∈（{2，e+\frac{1}{e}}）$
（i）當(dāng)k≤2時(shí)，m'（x）＞2-k≥0，x∈（0，1），即m（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
又m（0）=0，則h'（x）＞0，x∈（0，1），
即h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又F'（0）=2-k≥0，則F'（x）＞0，x∈（0，1）
即F（x）在（0，1）上是增函數(shù)，故F（x）＞F（0）=0，x∈（0，1）；----------------------（6分）
（ii ）當(dāng)k＞2時(shí)，則存在x₀∈（0，1），使得m'（x）在（0，x₀）小于0，
即m（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，則h'（x）＜0，x∈（0，x₀），
即h（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，又F'（0）=2-k＜0，
則F'（x）＜0，x∈（0，x₀），又F'（0）=2-k＜0，
即F（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，
故F（x）＜F（0）=0，x∈（0，x₀），矛盾！…---------…（8分）
故k的最大值為2；…（9分）
（2）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點(diǎn)x=x₁處存在公切線，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-\frac{1}{x_1}=\frac{{{x_1}^2+2ln{x_1}}}{a}①}\\{1+\frac{1}{{{x_1}^2}}=\frac{{2{x_1}+\frac{2}{x_1}}}{a}②}\end{array}}\right.$…-------------------------------------------------…（11分），
由②得$（2{x_1}-a）（x_1^2+1）=0$，即${x_1}=\frac{a}{2}$代入①得8lna-8ln2-a²+8=0，----…（13分），
記G（a）=8lna-8ln2-a²+8，則$G'（a）=\frac{8}{a}-2a$，
得G（a）在（0，2）上是增函數(shù)，（2，+∞）上是減函數(shù)，
又$G（2）=4＞0，G（4）=8ln2-8＜0，G（\frac{2}{e}）=-\frac{4}{e^2}＜0$，
得符合條件的a的個(gè)數(shù)為2．--------------------（16分）（未證明小于0的扣2分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．