Question

3．若函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x³-ax²+6x-3在[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）=$\frac{2}{3}$x³-ax²+6x-3在[1，2]上單調(diào)遞增，所以f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，分離變量后利用基本不等式求解最小值，即可得到求實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：由f（x）=$\frac{2}{3}$x³-ax²+6x-3，所以f′（x）=2x²-2ax+6，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x³-ax²+6x-3在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以f′（x）=2x²-2ax+6≥0在x∈[1，2]上恒成立．
即a≤x+$\frac{3}{x}$，在x∈[1，2]上恒成立．
因?yàn)楹瘮?shù)x+$\frac{3}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{3}{x}}$=2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{3}$∈[1，2]時(shí)取等號(hào)，
在x∈[1，2]上恒成立，實(shí)數(shù)a的最大值為2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍，考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，是中檔題．