Question

13．如圖所示，在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，AC=2$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求sin∠BAC的值及BC的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，求中線AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由cosC的值求出sinC的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式得到sin∠BAC=sin（B+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算求出值，再由sin∠BAC，sinB，以及AC的長(zhǎng)，利用正弦定理求出BC的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)D為BC中點(diǎn)，求出CD的長(zhǎng)，再由AC與cosC的值，利用余弦定理求出AD的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，AC=2$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$，即BC=$\frac{ACsin∠BAC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6，
（2）在△ADC中，CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AC=2$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由余弦定理得：AD²=AC²+DC²-2AC•DCcosC=20+9-2×2$\sqrt{5}$×3×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=5，
則AD=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．