Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-g^x（a∈R），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)（g為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式：f（x）＞f′（x）；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于ax（x-2）＞0，分a=0，a＞0，和a＜0討論可得；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x），則x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)根，求導(dǎo)數(shù)可得g′（x），若a≤0時(shí)，不合題意，若a＞0時(shí)，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最大值，可得關(guān)于a的不等式，解之可得．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=2ax-g^x，∴f（x）-f′（x）=ax（x-2）…（4分）
原不等式等價(jià)于f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)解；                                    …（5分）
當(dāng)a＞0時(shí)，解集為{x|x＜0，或x＞2}；                  …（6分）
當(dāng)a＜0時(shí)，解集為{x|0＜x＜2}                       …（7分）
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）=2ax-g^x，
則x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)根，則g′（x）=2a-g^x…（9分）
若a≤0時(shí)，g′（x）＜0恒成立，g（x）單調(diào)遞減，方程g（x）=0不可能有兩個(gè)根…（11分）
若a＞0時(shí)，由g′（x）=0，得x=ln2a，
當(dāng)x∈（-∞，ln2a）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（ln2a，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減 …（13分）
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，解得a＞     …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及分類討論的思想，屬中檔題．