Question

11．如圖所示，已知圓C的圓心為C（0，1），AB為圓C上非直徑的弦，E、F分別在線段AB、BC上，EF∥AC，且CF+EF=1．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若原點O（0，0）到直線AB的距離為1，試判斷|OA|•|OB|的值是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可得∠BEF=∠EBF，EF=FB，即CB=CF+EF=1，得圓C：x²+（y-1）²=1．
 （2）當切線l垂直y軸時，|OA|•|OB|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，當切線l不垂直y軸時，設其方程為x=ky+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由原點O（0，0）到直線AB的距離為1，得b²=1+k²．由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+b}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+k²）y²+（2kb-2）y+b²=0，y₁y₂=$\frac{^{2}}{1+{k}^{2}}$=1，|OA|•|OB|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$×$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{{y}_{1}•{y}_{2}}$=2，即可得|OA|•|OB|的值是否為定值2，

解答 解：（1）∵CA=CB，EF∥AC，∴∠BEF=∠EBF∴EF=FB，
∴CB=CF+EF=1，
得圓C：x²+（y-1）²=1；
 （2）當切線l垂直y軸時，其方程為y=1，此時A（1，1），B（-1，1），
|OA|•|OB|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
當切線l不垂直y軸時，設其方程為x=ky+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵原點O（0，0）到直線AB的距離為1，∴$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，即b²=1+k²．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+b}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+k²）y²+（2kb-2）y+b²=0，
∴y₁y₂=$\frac{^{2}}{1+{k}^{2}}$=1．
∵x₁²+（y₁-1）²=1，x₂²+（y₂-1）²=1．
∴|OA|•|OB|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$×$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{{y}_{1}•{y}_{2}}$=2．
綜上，|OA|•|OB|的值是否為定值2．

點評 本題考查了圓的方程，圓與圓的位置關系，圓的切線，及直線與圓的位置關系，屬于中檔題．