Question

已知方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的解α，β（α＜β），則下面結(jié)論正確的是（　　）

• A、tan（α+

  π

  4

  ）=

  α+1

  α-1

• B、tan（α+

  π

  4

  ）=

  α-1

  α+1

• C、tan（β+

  π

  4

  ）=

  β+1

  β-1

• D、tan（β+

  π

  4

  ）=

  β-1

  β+1

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用x的范圍化簡(jiǎn)方程，通過(guò)方程的解轉(zhuǎn)化為 函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用相切求出β的正切值，通過(guò)兩角和的正切函數(shù)求解即可．

解答： 解：方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的解α，β（α＜β），
則y=|cosx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，
所以直線y=kx與y=|cosx|在（

3π

2

，2π）內(nèi)相切，且切于點(diǎn)（β，cosβ）．
再根據(jù)

cosβ

β

=-sinβ，可得tanβ=-

1

β

，∴tan（β+

π

4

）=

tanβ+tan π 4

1-tanβtan π 4

=

β-1

β+1

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，直線與曲線相切的轉(zhuǎn)化，兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．