Question

5．已知點(diǎn)A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）都在拋物線(xiàn)y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F重合（如圖）
（1）寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求線(xiàn)段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線(xiàn)y²=2px，（p＞0）上，利用待定系數(shù)法能求出拋物線(xiàn)方程．
（2）由已知條件知F（8，0）是線(xiàn)段AM的定比分點(diǎn)，且$\frac{AF}{FM}$=2，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，8）在拋物線(xiàn)y²=2px，（p＞0）上，
∴64=4p，解得p=16，
∴拋物線(xiàn)方程為y²=32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（8，0）．
（2）如圖，∵F（8，0）是△ABC的重心，M是BC中點(diǎn)，
∴F是線(xiàn)段AM的定比分點(diǎn)，且$\frac{AF}{FM}$=2，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₃，y₃），
則$\frac{2+2{x}_{3}}{1+2}$=8，$\frac{8+2{y}_{3}}{1+2}$=0，
解得x₃=11，y₃=-4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（11，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)方程的求法，考查線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意定比分點(diǎn)公式的合理運(yùn)用．